Las cuatro ecuaciones de Maxwell no sólo fueron la culminación de la física clásica, sino el inicio de una revolución en la física. Esto fue reconocido por Albert Einstein en 1931, en el centenario del nacimiento de Maxwell, cuando escribió:

«El cambio más profundo en la base de la física desde los días de Newton fue el provocado por los trabajos de Maxwell, Faraday y Hertz sobre los fenómenos electromagnéticos.» [1]

De hecho, Einstein admitió que la Teoría de la Relatividad Especial nació de su intento de reconciliar la mecánica de Newton con las ecuaciones de Maxwell, ya que estas últimas exigían que la velocidad de la luz fuera una constante universal (véase La Teoría de la Relatividad Especial).

Boltzmann quedó también fascinado por cómo cuatro líneas de matemáticas tan compactas eran capaces de explicar con perfecta precisión una variedad tan colosal de fenómenos naturales: desde la luz y los imanes hasta las corrientes eléctricas y la óptica.

Esta fascinación la compartió también Heinrich Hertz, el físico alemán que demostró experimentalmente que las ondas electromagnéticas predichas por Maxwell existían de verdad. Al pasar años diseccionando las matemáticas de la teoría, Hertz expresó una sensación muy extendida entre los físicos teóricos:

«Es imposible estudiar esta maravillosa teoría sin sentir a veces como si las ecuaciones matemáticas tuvieran una vida independiente y una inteligencia propias; como si fueran más sabias que nosotros, más sabias incluso que su propio descubridor, y como si nos devolvieran más de lo que originalmente se puso en ellas.» [1]

Campos Vectoriales

En un artículo previo (Campos en el Espacio. gradiente, Divergencia y Rotacional. El Teorema de Helmholtz) estudiamos qué son los campos escalares y vectoriales y las principales operaciones que se pueden realizar sobre ellos: el gradiente de un campo escalar, y la divergencia y el rotacional de un campo vectorial.

Esencialmente, un campo escalar es una función que nos da el valor de una propiedad que varía al cambiar el punto del espacio en el que medimos. Por ejemplo, la densidad de carga eléctrica $\rho (x,y,z)$ (o carga eléctrica por unidad de volumen) que hay en una cierta región del espacio.

Un campo vectorial es una función que asigna un vector completo (con magnitud, dirección y sentido) a cada punto del espacio. En este caso, la información no es solo «cuánto», sino también «hacia dónde».

Ejemplo: El viento en la atmósfera o la corriente de un río. En cada punto del agua, una partícula tiene una velocidad (magnitud) y se mueve en una dirección específica. Si dibujáramos una flecha en cada punto del espacio, tendríamos el mapa del campo.

La expresión matemática es un vector F que tiene tres componentes las cuales son funciones de la posición espacial $(x,y,z)$ :

\mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k}

donde P, Q y R son las magnitudes (o tamaño) de las tres componentes, e i, j, k son tres vectores de tamaño unidad (vectores unitarios) que señalan en las direcciones de los ejes cartesianos X, Y, Z, respectivamente.

Otro ejemplo, que usaremos luego, es el campo eléctrico E producido por una distribución de cargas en el espacio. Este campo E se define como la fuerza eléctrica ( $\vec{F}$ ) que experimentaría una carga de prueba positiva colocada en un punto, dividida por el valor de dicha carga de prueba ( $q_{0}$ ). Esta E es la misma independientemente de lo grande o pequeña que sea la carga de prueba que se coloque en el punto del espacio, porque es una propiedad o «tensión» que adquiere el propio espacio, debido a la existencia en él de cargas eléctricas que están generando esa tensión o campo eléctrico.

Faraday propuso en la década de 1830 la idea de que las cargas, los imanes o las masas «perturban» físicamente el espacio que las rodea, generando líneas de fuerza que señalan hacia donde será atraída (o repelida) la carga, el imán o la masa de prueba que se coloque allí. Para él, existiría un campo real que estaba allí perturbando el espacio, con lo cual no era necesario pensar que las cargas o los imanes se atraen «a distancia» de forma instantánea, idea que resultaba extraña ya desde tiempos de Newton. También surgió de Faraday la representación de este campo mediante líneas tangentes a las fuerzas que provoca el imán, la carga o la masa, y que están más juntas cuanto más intenso es el campo.

Toda esta formulación impresionó a James Clerk Maxwell, quien trató de formalizarla matemáticamente, y ahí comenzó su proceso de abstracción y síntesis de observaciones que le llevaron a sus impresionantes ecuaciones de Maxwell para los campos eléctricos y magnéticos y su relación.

La figura siguiente muestra las flechas del campo eléctrico $\vec{E}$ y las líneas de campo generadas por una carga positiva aislada (izquierda) o una carga negativa aislada (derecha). Cualquier carga positiva testigo que se coloque en la vecindad de alguna de estas cargas, notará una fuerza en la dirección indicada por el campo.

Diagramas de líneas de campo eléctrico alrededor de cargas puntual positiva y negativa, con potenciales V₁ y V₂ señalados.

Si dos cargas están juntas en el espacio, una carga tercera testigo que se acerque a la pareja, notará el campo sumado de ambas, tal como muestra la figura siguiente para dos cargas negativas juntas (imagen superior) o dos cargas de distinto signo juntas (imagen inferior). Cualquier carga positiva que se acerque, notará una fuerza dirigida en el sentido que indican las flechas y las líneas del campo total.

Líneas de campo eléctrico entre dos cargas negativas iguales, que apuntan hacia ambas cargas.

Las Leyes de Gauss Para E y Para B

En su obra de 1839, «Teoremas generales relativos a las fuerzas de atracción y repulsión que actúan en razón inversa del cuadrado de la distancia«, Gauss analizó las fuerzas gravitatorias y electrostáticas, y demostró que el flujo total de una fuerza que depende del inverso del cuadrado del radio ( $1/r^2$ ) a través de cualquier superficie cerrada es proporcional a la «masa» (o carga) encerrada en su interior:

\oint _{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon _{0}}

donde Q_enc es la carga encerrada por la superficie cerrada $S$ y $\epsilon_0$ es una constante experimental, dependiente del medio en el que se mide (vacío, aire…). Gauss veía esto como una propiedad geométrica global del espacio, nacida directamente de la estructura tridimensional de la Ley de Coulomb. Para Gauss, entre la carga que atrae y la carga lejana que siente la atracción no hay nada (acción a distancia). Conocía el teorema de la divergencia, porque había contribuido a demostrarlo en casos muy generales. Pero lo veía simplemente como una identidad de integración por partes en tres dimensiones: una forma astuta de transformar una triple integral de derivadas parciales en una doble integral sobre una frontera. No disponía aún del concepto de «campo», esto fue invención de Faraday; tampoco disponía del concepto de «fuentes del campo» ni de que las cargas puedan ser «fuentes» de algo, esto fue invención de Maxwell, aún más tarde, cuando éste trabajó sobre las líneas de campo de Faraday como si fueran las de un fluido.

Maxwell sí se dio cuenta de que las cargas hacían converger (o diverger si son negativas) las líneas del campo, por lo que son las fuentes físicas de algo real que es el campo eléctrico, que es continuo en el espacio; vio que el teorema de Gauss (o de la divergencia) no es sólo un instrumento matemático: nos permite decir en qué regiones del espacio hay fuentes de líneas nuevas o sumideros de líneas (las cargas). Razonó que si la carga está distribuida con densidad volumétrica $\rho$ , entonces:

Q_{\mathrm{int}} = \int_V \rho\, dV

y la ley de Gauss queda:

\oint_S \mathbf{E}\cdot d\mathbf{S} = \frac{1}{\varepsilon_0} \int_V \rho\, dV

Ahora se aplica el teorema de la divergencia de Gauss-Ostrogradski (véase Campos en el Espacio. gradiente, Divergencia y Rotacional. El Teorema de Helmholtz):

\oint_S \mathbf{E}\cdot d\mathbf{S} = \int_V (\nabla\cdot\mathbf{E})\, dV

Sustituyendo:

\int_V (\nabla\cdot\mathbf{E})\, dV = \frac{1}{\varepsilon_0} \int_V \rho\, dV

Llevando ambos términos al mismo miembro:

\int_V \left( \nabla\cdot\mathbf{E} – \frac{\rho}{\varepsilon_0} \right) dV = 0

Como esto debe cumplirse para cualquier volumen arbitrario $V$ , el integrando debe anularse punto a punto:

\nabla\cdot\mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}

que es la primera ecuación de Maxwell en forma diferencial.

Las dos figuras siguientes muestran que si a través de una superficie cerrada salen más líneas de campo eléctrico de las que entran, hay una carga eléctrica interior; si salen el mismo número de las que entran, no hay cargas dentro.

Diagrama de un campo vectorial radial con flechas que parten de un punto central sobre una región verde irregular.

Campo vectorial alrededor de una carga puntual negativa, representado por flechas que apuntan hacia el centro.

Figuras ilustrando el teorema de Gauss para el campo eléctrico. Tomadas de Antonio González, Universidad de Sevilla.

Ley de Gauss para el magnetismo

La ley integral correspondiente es:

\oint_S \mathbf{B}\cdot d\mathbf{S} = 0

Aplicando nuevamente el teorema de la divergencia:

\int_V (\nabla\cdot\mathbf{B})\, dV = 0

o, equivalentemente,

\int_V \nabla\cdot\mathbf{B}\, dV = 0

Como la igualdad debe cumplirse para cualquier volumen arbitrario:

\nabla\cdot\mathbf{B} = 0

Esta es la segunda ecuación de Maxwell en forma diferencial.

La Aportación de Heaviside

Maxwell escribía expresiones como:

\frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}

Heaviside identificó la combinación recurrente del primer miembro como una única operación vectorial, la divergencia del campo vectorial, por tanto la expresión anterior la expresó como: $\nabla\cdot\mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$ y análogamente: $\nabla\cdot\mathbf{B}=0$ , tal como lo escribimos desde entonces.

La divergencia mide el balance local entre líneas de campo que salen y líneas de campo que entran en una región infinitesimal. La ecuación:

\nabla\cdot\mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}

indica que las cargas eléctricas hacen diverger (o converger) localmente al campo eléctrico porque son las fuentes o sumideros de dicho campo eléctrico. Por el contrario,

\nabla\cdot\mathbf{B} = 0

expresa que no existen fuentes magnéticas aisladas (monopolos magnéticos), por lo que las líneas del campo magnético forman siempre curvas cerradas.

Diagrama de la ley de Gauss para el campo magnético, con líneas de campo cerradas y flujo magnético neto igual a cero.

Fig. Como $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ , los campos magnéticos no tienen fuentes escalares (divergencias) para sus líneas. Tomado de Juan Carlos Alonso Huitrón-IIM-UNAM

Ley de Faraday

Michael Faraday descubrió la inducción electromagnética en 1831 mediante una serie de experimentos históricos basados en la observación del movimiento de campos magnéticos y corrientes eléctricas.

Experimentos de inducción mutua (Bobinas estáticas): Conectó una bobina de cobre a una batería alrededor de un anillo de hierro y otra bobina independiente a un galvanómetro. Observó que la aguja del galvanómetro se movía únicamente en el instante de conectar o desconectar la batería, descubriendo que un campo magnético variable, y no uno estático, genera electricidad.

Imán introducido en una bobina: Introdujo y retiró rápidamente un imán de barra permanente dentro de un solenoide conectado a un galvanómetro. La aguja se desviaba en una dirección al entrar el imán y en la dirección opuesta al salir, demostrando que el movimiento relativo entre el conductor y el campo magnético induce la corriente.

Diagrama que muestra una bobina conectada a una bombilla y las líneas del campo magnético alrededor de un imán.

Aproximación de una bobina activa: Movió una bobina conectada a una batería (actuando como un electroimán) hacia el interior de otra bobina pasiva conectada al galvanómetro. El efecto fue idéntico al del imán permanente, confirmando que las fuerzas magnéticas generadas por electricidad se comportan igual que el magnetismo de un imán siempre que haya movimiento.

Ilustración de un experimento electromagnético con bobinas, cables y una mano acercándose a un cilindro metálico.

Para explicar sus descubrimientos, Faraday introdujo un concepto visual y geométrico: las «líneas de fuerza» (lo que hoy llamamos líneas de campo magnético). Él razonó intuitivamente que la electricidad se inducía cuando un conductor físico «cortaba» estas líneas de fuerza en movimiento.

James Clerk Maxwell leyó el trabajo experimental de Faraday (1856-1865) y quedó fascinado por su intuición geométrica. Maxwell se propuso dar un sustento matemático a esas «líneas de fuerza». En su artículo On Faraday’s Lines of Force (1856), empezó a modelar matemáticamente las ideas de Faraday usando analogías de flujo de fluidos; y en A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field (1865), tradujo formalmente la inducción al lenguaje del cálculo diferencial e integral, integrándola como una de sus ecuaciones fundamentales, pero siempre utilizando expresiones largas con todas las componentes $x,y,z$ de los campos.

La ley en su forma integral moderna, que vincula la fuerza electromotriz ( $\mathcal{E}$ ) con la variación temporal del flujo magnético ( $\Phi _{B}$ ), fue refinada y simplificada posteriormente por físicos como Oliver Heaviside y Heinrich Hertz:

\oint _{C}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=-\frac{d}{dt}\iint _{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}

Maxwell dedujo la ley equivalente que vale para cualquier tamaño del bucle en que se produce el flujo magnético. Para ello comenzó usando el Teorema de Stokes que nos dice que la circulación de un campo a lo largo de una curva cerrada es igual al flujo (o integral de superficie) del rotacional de dicho campo a través de la superficie limitada por la curva (véase Campos en el Espacio. gradiente, Divergencia y Rotacional. El Teorema de Helmholtz):

\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{A}

Usando este teorema dentro de la ecuación original de Faraday tenemos:

\iint _{S}(\nabla \times \mathbf{E})\cdot d\mathbf{S}=-\frac{d}{dt}\iint _{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}

Si asumimos que la superficie S y la curva C son estacionarias (no cambian de forma ni se mueven en el espacio), la derivada total respecto al tiempo puede introducirse dentro de la integral. Al entrar, se convierte en una derivada parcial ( $\partial/\partial t$ ) porque el campo magnético $\mathbf{B}$ depende tanto del espacio como del tiempo, y la integral solo evalúa el espacio, pero nosotros estamos derivando respecto al tiempo:

\iint _{S}(\nabla \times \mathbf{E})\cdot d\mathbf{S}=\iint _{S}\left(-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\right)\cdot d\mathbf{S}

Llevando ambos términos al mismo lado de la igualdad, podemos fusionar las dos integrales de superficie en una sola:

\iint _{S}\left(\nabla \times \mathbf{E}+\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\right)\cdot d\mathbf{S}=0

Dado que esta ecuación debe cumplirse para cualquier superficie S que elijamos, sin importar su tamaño, forma u orientación, la única manera matemática de que la integral sea siempre cero es que el propio término que está dentro del paréntesis sea idénticamente cero en cada punto del espacio:

\nabla \times \mathbf{E}+\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}=0\implies \mathbf{\nabla \times E=-}\frac{\mathbf{\partial B}}{\mathbf{\partial t}}

que es la tercera ley de Maxwell.

Maxwell no escribió la ecuación en sus artículos de 1865 [1, 2, 3] en esta forma tan condensada, porque no usaba vectores modernos; escribió ecuaciones diferenciales simultáneas desglosadas componente por componente $x, y, z$ . Así, la ecuación de Faraday aparecía dividida en tres extensas líneas de derivadas parciales para cada eje espacial. [1]

Fue el físico Oliver Heaviside en 1884 quien, utilizando el análisis vectorial que se usa hoy en día, condensó las larguísimas ecuaciones locales de Maxwell en las 4 ecuaciones vectoriales modernas utilizando los operadores del rotacional y la divergencia. [1, 2]

La Cuarta Ecuación: Ley de Ampère-Maxwell

En 1820, Hans Christian Ørsted descubrió experimentalmente que una corriente eléctrica desviaba la aguja de una brújula. Al enterarse, André-Marie Ampère comenzó a realizar experimentos cuantitativos rigurosos (1861-1862), y encontró que la corriente que pasa por el cable crea un campo magnético con líneas de campo circulares alrededor del cable.

Ilustración de un campo magnético B alrededor de un conductor, con corriente I y velocidad v indicadas mediante flechas.

Fig. Experimentos de Ampère. Una corriente es una carga o conjunto de cargas que se mueven con cierta velocidad. Alrededor de la corriente se observa un campo magnético B cuyas líneas son circulares.

Esta ley se puede utilizar para construir un electroimán, enrollando el cable con la corriente en forma de solenoide, por ejemplo, un hilo de cobre enrollado en forma de hélice (como un muelle o resorte). Como cada espira circular tiene un campo magnético B circular alrededor, los campos B de cada espira se suman creando un campo total que tiene la forma que muestra la figura siguiente. Esa forma es la misma que la que produce un imán permanente.

Diagrama de líneas de campo magnético alrededor de una fila de imanes, con el punto P señalado.

Fig. Electroimán construido mediante una corriente continua que atraviesa un solenoide. Tomado de Ley de Ampère en Solenoides y Toroides – Magnetismo | Calculisto

Cuando estos electroimanes hechos con bobinas se fabrican con forma de toro (o «donut»), crean un campo magnético que circula en forma cerrada por el interior del donut (fig. siguiente). Este es el campo toroidal de los tokamaks con los que se intenta confinar los plasmas y calentarlos hasta la fusión termonuclear. Las partículas cargadas en movimiento sufren una fuerza magnética F, llamada fuerza de Lorentz, que es perpendicular a su velocidad $\vec{v}$ y a la dirección del campo magnético $\vec{B}$ :

\vec{F}=q(\vec{v}\times \vec{B})

donde q es la carga eléctrica, y el signo $\times$ significa producto vectorial de dos vectores. De modo que un campo toroidal tiende a mantener confinadas a las partículas, que no se pueden alejar de las superficies (toroidales) de campo magnético constante, salvo por choques violentos momentáneos con otras partículas.

Diagrama de un dispositivo de confinamiento de plasma con solenoide central, bobinas de campo toroidal y poloidal, y campos magnéticos helicoidales.

Fig. Esquema de un Tokamak. Una bobina que se cierra sobre sí misma formando un toro o «donut» crea en su interior un campo magnético con líneas cerradas que tienden a mantener confinado al plasma de partículas cargadas que es creado en su interior.

Ampère resumió sus observaciones en forma de una ecuación integral que lleva su nombre (Ley de Ampère), y que establece que la circulación del campo magnético a lo largo de una línea cerrada es proporcional a la corriente neta que atraviesa la superficie delimitada por dicha línea:

\oint_C \mathbf{B} \cdot d\mathbf{r} = \mu_0 I_{\text{encerrada}}

Cuando James Clerk Maxwell analizó esta ley, Oliver Heaviside y otros físicos y matemáticos de finales del siglo XIX habían hecho avanzar el cálculo vectorial. Utilizó el teorema de Stokes para expresar la ley de Ampère en forma diferencial:

* Partiendo de la ley de Ampère: $\oint_C \mathbf{B} \cdot d\mathbf{r} = \mu_0 I$

* Escribiendo la corriente en función de la densidad de corriente: $I = \int_S \mathbf{J} \cdot d\mathbf{A}$

* Aplicando el Teorema de Stokes al lado izquierdo: $\oint_C \mathbf{B} \cdot d\mathbf{r} = \int_S (\nabla \times \mathbf{B}) \cdot d\mathbf{A}$

Igualando ambas integrales de superficie para cualquier región, se obtiene la forma diferencial original de Ampère (antes de que Maxwell le añadiera la corriente de desplazamiento):

\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}

donde $\mathbf{J}$ es la densidad de corriente. Parecía funcionar perfectamente para corrientes estacionarias.

Sin embargo, Maxwell detectó un problema. Tomemos la divergencia de ambos lados:

\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) = \nabla \cdot (\mu_0 \mathbf{J})

Siempre se cumple la identidad geométrica siguiente:

\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) = 0

Luego se deduciría que:

\nabla \cdot \mathbf{J} = 0

Sin embargo, la ecuación de continuidad exige físicamente que:

\nabla \cdot \mathbf{J} = -\frac{\partial \rho}{\partial t}

Por tanto, la ley de Ampère original solo puede ser válida si:

\frac{\partial \rho}{\partial t} = 0

es decir, si las cargas no cambian con el tiempo. Maxwell vio que esto era un problema grave.

Por ejemplo, imaginemos un condensador cargándose. En los cables circula una corriente tal que $\mathbf{J} \neq 0$ , pero entre las placas no hay conducción de electrones, por lo que $\mathbf{J} = 0$ . La Ley de Ampère en su forma integral establece que la circulación del campo magnético a lo largo de una curva cerrada $C$ depende de la corriente neta que atraviesa una superficie $S$ que tenga a esa curva como borde o «boca». Ahora bien, si dibujamos como borde una línea circular casi al final del cable conductor ya casi llegando a la placa del condensador, y usamos una superficie plana para calcular el flujo de corriente que la atraviesa, obtendremos un valor positivo. Pero si la superficie elegida se abomba en la dirección del espacio entre las placas, donde no hay ninguna corriente atravesándola, el resultado sería cero. Como las dos superficies usadas tienen el mismo borde, hemos obtenido dos resultados diferentes para el mismo campo magnético. Eso es imposible.

Para resolver la contradicción, Maxwell buscó una cantidad adicional $\mathbf{J}_d$ tal que:

\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mathbf{J}_d

y que restaurase la continuidad al tomar la divergencia (sin que las cargas tengan que permanecer invariables):

\nabla \cdot (\mathbf{J} + \mathbf{J}_d) = 0

Usando la ecuación de continuidad $\nabla \cdot \mathbf{J} = -\frac{\partial \rho}{\partial t}$ , dedujo que debía cumplirse:

\nabla \cdot \mathbf{J}_d = \frac{\partial \rho}{\partial t}

Maxwell ya conocía la ley de Gauss en su forma diferencial:

\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}

Derivándola respecto al tiempo:

\nabla \cdot \left( \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right) = \frac{\partial \rho}{\partial t}

Comparando con la condición anterior vio que una elección natural es:

\mathbf{J}_d = \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}

a la que llamó corriente de desplazamiento.

Sustituyendo en la ley de Ampère (asumiendo que el término original va completamente afectado por la constante de permeabilidad):

\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}

que es la ley de Ampère-Maxwell o cuarta ley de Maxwell.

Retrato coloreado de un hombre del siglo XIX con barba larga, chaleco oscuro y chaqueta verde

Fig. El físico escocés James Clerk Maxwell (1831-1879)

El modelo que utilizó Maxwell para imaginar el origen de esa corriente de desplazamiento fue suponer que el medio (por ejemplo entre las dos placas del condensador que se está cargando) contiene cargas positivas y negativas que se van estirando hacia valores mayores (o menores) de polarización mientras la intensidad del campo E esté aumentando (disminuyendo). Hasta que E deja de variar, y entonces la corriente de desplazamiento se vuelve cero. Como las cargas positivas y negativas se estiran en direcciones opuestas, el desplazamiento de ambos tipos de carga equivale a una corriente eléctrica. Este fenómeno se produciría también en el medio llamado éter luminífero que llenaba el vacío según la creencia de la época. Young y Fresnel habían reforzado la creencia en este éter luminífero al demostrar experimentalmente que la luz se comportaba como una onda (fenómenos de interferencia y difracción), y toda onda necesita un medio para propagarse.

La física actual no cree que exista el éter luminífero, pero la Teoría Cuántica de Campos (TCC) explica que el vacío genera también una corriente de desplazamiento. Según la TCC, el vacío no es la nada absoluta, sino el estado de menor energía de los campos cuánticos. Debido al Principio de Incertidumbre de Heisenberg para la energía-tiempo ( $\Delta E \cdot \Delta t \ge \hbar / 2$ ) si el tiempo es suficientemente pequeño (de uno $3 \times 10^{-22} s$ ) el vacío puede tomar energía del campo eléctrico suficiente para crear pares de partículas y antipartículas virtuales (como electrones y positrones) que aparecen y tras ese tiempo devuelven la energía prestada ( $2 m_e c^2$ ) al campo eléctrico, desapareciendo [4.1].

Así, cuando aplicamos un campo eléctrico $\mathbf{E}$ en el vacío, las partículas virtuales positivas son empujadas en la dirección del campo y las partículas virtuales negativas son empujadas en la dirección opuesta. Esto significa que el vacío cuántico se polariza físicamente, comportándose exactamente como el dieléctrico material que describíamos antes. El vacío tiene una susceptibilidad eléctrica real, y la constante $\varepsilon _{0}$ (permitividad del vacío) podría ser, fundamentalmente, la medida de la elasticidad de ese mar de partículas virtuales. Digo «podría ser» porque aún no se ha conseguido deducir el valor de $\varepsilon _{0}$ a partir de la dinámica cuántica de los pares virtuales, aunque es una línea que se sigue investigando.

Las Ecuaciones de Maxwell y la Ecuación de las Ondas Electromagnéticas

Una vez añadido el nuevo término de Maxwell a la Ley de Ampère, obtenemos las cuatro ecuaciones de Maxwell definitivas para los campos E y B suponiendo que hay densidad de carga y densidad de corriente pero que el medio sigue siendo el vacío:

\begin{align} \nabla \cdot \mathbf{E} &= \frac{\rho}{\varepsilon_0} \hspace{6.5cm} (1)\\ \nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \hspace{6.8cm} (2)\\ \nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \hspace{6cm} (3)\\ \nabla \times \mathbf{B} &= \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \hspace{4.1cm} (4) \end{align}

Estas ecuaciones fueron presentadas por Maxwell en 1865 en su artículo titulado “Una teoría dinámica del campo electromagnético”, aunque escritas en forma de 20 ecuaciones simultáneas con 20 variables, que en 1873 redujo a 12. Poco después de su muerte, fue el físico y matemático autodidacta Oliver Heaviside quien en 1884-1885 tomó las ecuaciones de Maxwell originales, eliminó el vector potencial-magnético, que era redundante, utilizó el cálculo vectorial, y condensó las ecuaciones para distintas componentes de E y B que tenía Maxwell en las cuatro ecuaciones compactas que utilizamos hoy.

Si en lugar del vacío estamos en un medio como el aire, agua purificada, vidrio o aceite (siempre que los materiales sean isotrópicos y homogéneos), las ecuaciones anteriores se transforman sustituyendo:

$\varepsilon_0 \longrightarrow \varepsilon$ (Permitividad eléctrica del medio)
$\mu_0 \longrightarrow \mu$ (Permeabilidad magnética del medio)

Maxwell se preguntó qué pasaría con los campos E y B en un vacío absoluto sin cargas ni circulación de cargas. Las ecuaciones son entonces:

\nabla \cdot \mathbf{E} = 0

\nabla \cdot \mathbf{B} = 0

\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}

\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}

La ecuación de ondas e.m. en el vacío

Esta derivación de Maxwell es una de las más elegantes de toda la física porque la velocidad de la luz aparece como una consecuencia matemática de sus ecuaciones. Vamos a hacerla usando la notación actual.

Tomamos el rotacional en ambos miembros de la ley de Faraday (tercera ecuación):

\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = -\frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \mathbf{B})

Ahora sustituimos la ley de Ampère-Maxwell (cuarta ecuación) en el lado derecho:

\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = -\mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}

Usamos ahora la identidad del laplaciano vectorial:

\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) – \nabla^2 \mathbf{E}

Pero como estamos en el vacío, $\nabla \cdot \mathbf{E} = 0$ , de modo que el gradiente de la divergencia se anula:

\nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) = 0

Por lo tanto, sustituyendo nos queda:

\nabla^2 \mathbf{E} = \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}

Ahora bien, la ecuación diferencial general de una onda es de la forma:

\nabla^2 \psi = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}

donde $v$ es la velocidad de propagación. Comparando los coeficientes vemos que:

\frac{1}{v^2} = \mu_0\varepsilon_0

Por tanto:

v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}

Maxwell conocía los valores experimentales disponibles en su época. Hoy en día los conocemos con alta precisión:

\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ H/m}

\varepsilon_0 = 8.8541878128 \times 10^{-12} \text{ F/m}

donde $H = 1 V \cdot s / A$ es el henrio, y $F = 1 A \cdot s / V$ es el faradio. Multiplicando y resolviendo la raíz inversa se obtiene:

v = 2.99792458 \times 10^8 \text{ m/s}

Que corresponde exactamente con la velocidad de la luz definida como:

c = 299,792,458 \text{ m/s}

Lo extraordinario no fue obtener una ecuación de ondas, que ya se conocían en física. Lo sorprendente fue que la velocidad obtenida coincidía con la velocidad de la luz medida experimentalmente. En su artículo de 1865 escribió: «Esta velocidad es tan próxima a la velocidad de la luz que parece que la luz misma es una perturbación electromagnética propagándose a través del campo electromagnético«. Fue una predicción teórica pura; aún faltaban más de 20 años para que Hertz generase y detectase ondas de radio en el laboratorio.

La derivación matemática puede ocultar el mecanismo físico. Imaginemos que aparece una variación local del campo eléctrico. Por la ley de Ampère-Maxwell:

\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \longrightarrow \nabla \times \mathbf{B}

es decir, un campo eléctrico variable crea un campo magnético espacialmente distribuido. Pero a su vez, por Faraday:

\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \longrightarrow -\nabla \times \mathbf{E}

un campo magnético variable crea un campo eléctrico. Así se establece un ciclo dinámico continuo:

\mathbf{E} \rightarrow \mathbf{B} \rightarrow \mathbf{E} \rightarrow \mathbf{B} \rightarrow \cdots

La perturbación se va regenerando sola y se propaga por el espacio.

Diagrama de una onda electromagnética con los campos eléctrico E y magnético B perpendiculares, propagándose a la velocidad de la luz c y con longitud de onda λ.

Fig. Onda e.m. plana (polarizada) propagándose por el espacio. Tomado de Electromagnetismo 3, Ecuaciones de Maxwell – Fisicalandia

Las constantes $\varepsilon_0$ y $\mu_0$ miden cuánto «cuesta» crear campo eléctrico y magnético en el vacío. Cuanto mayor es ese coste (mayores $\varepsilon_0$ o $\mu_0$ ), más lentamente se propaga la perturbación. Por eso la velocidad resulta ser exactamente $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}$ . Esta interpretación dinámica fue una de las ideas que más impresionaron a Einstein, porque convertía la velocidad de la luz en una propiedad del propio vacío y no de una fuente luminosa concreta.

Maxwell murió prematuramente a los 48 años de lo mismo que murió su madre a los 47 (cáncer abdominal), por lo que no llegó a ver la comprobación de la existencia de las ondas e.m. Esto fue demostrado por Heinrich Hertz ocho años más tarde (1886-1888) con un ingenioso oscilador cuyo esquema se muestra en la figura siguiente.

Diagrama de un sistema de encendido por inducción con batería, interruptor, bobina primaria y secundaria, condensador, interruptor y anillo con bolas de chispa y entrehierro micrométrico.

Una batería es conectada a un interruptor de martillo (análogo a los que hacían oscilar el martillo de los antiguos timbres de las casas), el cual conecta y desconecta periódicamente la tensión de una bobina Ruhmkorff, que tiene un bobinado primario, un bobinado secundario y un núcleo de ferrita, todos ellos concéntricos (en la figura aparecen separados para poderlos visualizar). La corriente atravesando la bobina primaria genera un campo magnético en su centro que alcanza un valor máximo cuando la corriente alcanza el máximo pero que, cuando el interruptor interrumpe el circuito, se desvanece casi instantáneamente, porque el aire tiene resistencia infinita al paso de la corriente. Este desvanecimiento de B en el primario induce un campo eléctrico que crea una corriente en el secundario. Si el número de espiras del secundario es mucho mayor que las del primario, el voltaje de salida en el secundario se multiplica al menos en la misma proporción o mucho más debido a la rapidez de la caída de la corriente y de B. Este voltaje de salida se transmite a las dos bolas separadas por unos pocos milímetros de aire y que actúan como condensadores.

En el preciso instante en que la tensión entre las bolas llega a unos ~3.000 V por mm de separación, el aire se ioniza y se crea un puente conductor (una chispa). Las cargas positivas y negativas acumuladas en las dos mitades del oscilador se precipitan unas hacia otras a través de la chispa.

Efecto de inercia eléctrica. Debido a la inductancia de las varillas metálicas del oscilador, la corriente no se detiene cuando ambas bolas quedan neutras, sino que su intento de disminuir provoca una disminución de B alrededor de las varillas que llevan la corriente, y esto provoca un campo eléctrico inducido que vuelve a presionar hacia delante, a que las cargas sigan fluyendo. Esto acaba invirtiendo la carga y polaridad de las bolas con una polaridad opuesta (la que era positiva no se queda en cero sino que se vuelve negativa, y viceversa). Todos los conductores tienen cierta autoinductancia incluso siendo rectos, no hace falta curvarlos en forma de espira o solenoide.

Oscilación amortiguada. Este vaivén de carga de positivo a negativo se repite millones de veces por segundo (en torno a 50-100 MHz en el experimento original de Hertz) mientras dura la chispa, perdiendo energía en cada ciclo tanto por calor en el aire como por la radiación de la onda electromagnética, hasta que la chispa se apaga y poco después la bobina vuelve a iniciar el ciclo.

La figura muestra también, a la derecha, la antena circular casi cerrada que Hertz utilizó para que, al ser atravesada por las hipotéticas ondas e.m., sufriera inducción de campo eléctrico (por B variable atravesándola) o desplazamientos de cargas (por E atravesándola de forma no simétrica), o ambos efectos simultáneamente. Lo que observó en ambos casos fue una pequeña chispa en la parte abierta del anillo.

Cuando Heinrich Hertz descubrió las ondas de radio, comentó a sus alumnos: «Esto no tiene ninguna utilidad; es simplemente un experimento que demuestra que el maestro Maxwell tenía razón.» [physicsdegree.com], [en.wikiquote.org]

La historia desmintió su modestia: de aquellas ondas electromagnéticas artificiales surgieron la radio, la televisión, el radar, la telefonía móvil y las comunicaciones modernas.

Retrato en blanco y negro de un hombre con barba y traje oscuro frente a una pared con motivos ornamentales.

Foto. El físico alemán Heinrich Hertz (1857-1894). Foto tomada en su laboratorio de Karlsruhe en1889, pocos meses después de sus importantes experimentos.

Las Ecuaciones de Maxwell y Las Ondas Electromagnéticas

Deja una respuesta Cancelar la respuesta